$x-1<0$   y    $x+5>0$

$x<1$    y   $x>-5$ 

Los valores de x que cumplen estas condiciones son los valores $\left(-5,1\right)$. Es decir, $S_1 = \left(-5,1\right)$.

$x-1>0$   y    $x+5<0$

$x>1$    y   $x<-5$

No existen valores de $x$ que cumplan estas condiciones. Por lo tanto el caso 2 no tiene solución. Es decir, $S_2 = \emptyset$.

Por lo tanto la solución total será la solución del caso uno ($S_1$):

Solución:  $x\in \left(-5,1\right)$